Analyse de circuits à courant alternatif 2

CHAPITRE 3 : LES CIRCUITS À COURANT ALTERNATIF

1. La résistance pure

2. Le condensateur seul

3. Le circuit RC série

4. L'inductance seule

5. Puissances active, réactive et apparente

6. Le circuit RLC série

7. La résonance série

8. Le circuit RL parallèle

9. Le circuit RC parallèle

10. Le circuit RLC parallèle

11. La résonance parallèle

1. La résistance pure :

Le circuit le plus simple qu’on puisse étudier en courant alternatif est composé d’une source de tension et d’une résistance. La tension alternative appliquée est sinusoïdale soit :

v = Vm sin ωt (1)

Le courant instantané dans la résistance est :

i = v / R = Vm sin wt /R = (Vm /R) x sin ωt

Ou encore, si on fait Vm / R = Im

i = Im sin ωt (2)

Les équations (1) et (2) nous font voir que la tension aux bornes de la résistance et le courant dans cette résistance varient comme sin ωt. On dit que la tension et le courant sont en phase dans la résistance. Quand l’un est maximal, l’autre l’est aussi (temps t1 de la figure suivante), de même les valeurs sont nulles en même temps (temps t2). Le courant et la tension se comportent comme dans un circuit à courant continu.

2. Condensateur seul :

Analysons ce qui se passe dans un circuit composé d’une source et d’un condensateur. La tension appliquée a la forme :

v = Vm sin ωt

Supposons qu’on applique la tension à t = 0. Durant le premier demi-cycle circule de (a) à (b) (voir figure suivante) un courant i et un des côtés du condensateur devient positif. L’autre côté devient nécessairement négatif, le courant allant dans ce cas de (c) à (d).

Durant le second demi-cycle, les courants sont inversés ; ils vont de (b) à (a) et de (d) à (c). Si on considère un point quelconque du circuit, soit le point P, il y est passé un courant dans un sens durant le premier cycle et un courant dans l’autre sens durant le second cycle. Ceci s’est fait même si aucune charge réelle n’a traversé le condensateur.

C’est la façon dont circule le courant dans un condensateur quand on applique une tension alternative. Si on appliquait une tension continue, il circulerait un courant seulement durant la charge du condensateur, après quoi le courant serait nul. On peut donc dire qu’un condensateur bloque complètement le courant continu tandis qu’il laisse passer le courant alternatif.

Contrairement à ce que nous avons trouvé pour le circuit contenant une résistance, le courant et la tension ne sont pas en phase dans un circuit contenant un condensateur.

On montre ceci de la façon suivante : on est au point (o) de la courbe de la tension en fonction du temps. À ce moment, il n’y a aucune charge sur le condensateur et le courant peut se rendre « librement » , le courant prend alors sa valeur maximale. À mesure que la tension augmente, la charge sur le condensateur augmente aussi et le courant diminue proportionnellement à cause des charges déjà en place qui repoussent celles qui veulent y venir. Quand la tension est maximale, le condensateur est complètement chargé et le courant devient nul (point o’) ; quand la tension décroît, le courant devient négatif, c’est à dire change de sens. On voit que le courant et la tension ne « marchent » pas ensemble ; quand l’un est maximum, l’autre est nul et réciproquement ; on dit que le courant n’est pas en phase avec la tension. D’après la figure, l’angle de phase entre ces deux quantités est de 90^o.

Le courant est en avance de 90^o sur la tension. Les équations de ces grandeurs sont :

i = Im sin (ωt + 90^o) (3)

v = Vm sin (ωt) (4)

sin θ =cos (θ – 90^o)

sin (ωt +90^o) = cos (wt + 90^o – 90^o) = cos ωt

L’équation (3) s’écrit alors : i = Im cos ωt

Le courant varie comme la fonction cosinus et la tension varie comme la fonction sinus.

La charge instantanée q sur le condensateur est q = C x v où C = capacité du condensateur

q = C Vm sin (ωt)

Le courant est le taux de variation de la charge sur le condensateur par rapport au temps

dq d

i = ----- = ---- (C Vm sin ωt) = C Vm ω cos ωt (calcul de dérivées d’un niveau supérieur)

dt dt

i = Im cos ωt = C Vm ω cos ωt ==> Im = ω C Vm

Exprimons cette équation sous la forme de la loi d’ohm (v = R i)

La quantité (1/ Cω) correspond donc à une résistance. Elle a en effet les unités d’une résistance

Au lieu de l’appeler résistance, on l’appelle réactance, et pour la distinguer d’une autre sorte de réactance que nous allons étudier à la prochaine section, son nom complet est réactance capacitive. On la désigne souvent par le symbole XC.

On voit que la résistance au courant alternatif due à un condensateur varie inversement avec la fréquence de la tension appliquée ; plus celle-ci est grande, plus la résistance est faible.

En courant continu (F=0), elle est infinie et le courant ne passe pas.

Résumé : quand on branche un condensateur dans un circuit dans lequel circule un courant alternatif, on observe :

· Qu’il circule un courant dans le circuit même si le condensateur arrête complètement le courant continu.

· Que le courant est en avance sur la tension aux bornes du condensateur de 90^o

· Que la réactance du condensateur varie suivant la fréquence de la tension appliquée

· Que le courant varie suivant la réactance du condensateur, donc suivant la fréquence de la tension appliquée.

Exercice : Calculer la réactance capacitive d’un condensateur de 2 µF aux fréquences de 60 Hz, 100 Hz et 1 MHz. Ce même condensateur est branché à une source de tension de 120 volts aux fréquences indiquées. Calculer les courants qu’il laisserait passer.

------------------------------

Pour 60 Hz XC = 1327 Ω

Pour 1000 Hz XC = 79.7 Ω

Pour 1 MHz XC = 0.08 Ω

I = V / XC

Pour 60 Hz I = 90 mA

Pour 1000 Hz I = 1.51 A

Pour1 MHz I = 1500 A

3. Circuit RC série :

Un circuit RC comprend les éléments suivants : une résistance R, un condensateur C et une source de tension v de pulsation ω. Supposons que le courant qui circule dans un tel circuit a la forme :

i = Im sin ωt

Ce courant passe dans chaque élément créant une différence de potentiel aux bornes de chacun d’eux. Pour la résistance, la d.d.p. instantanée est en phase avec le courant ;

V_ab = V_R = R Im sin ωt

Pour le condensateur, la d.d.p. à ses bornes est 90^o en arrière du courant

À tout instant, la f.é.m. appliquée est égale à la somme vectorielle des potentiels aux bornes des différents éléments :

v = v_ab + v_bc = v_R + v_C

XC = 1.59 KΩ

VR = R I

VC = XC I

3.1. Impédance :

La résistance équivalente à la combinaison de la résistance et de la réactance capacitive du condensateur s’appelle impédance et est notée par la lettre Z. La tension totale peut alors s’écrire :

V = Z I

Comme c’est un circuit série et que le courant est le même dans chacun des éléments, en divisant chacun des termes du triangle des tensions par I, on obtient le triangle des impédances suivant :

À partir du triangle des impédances, on peut déterminer l’impédance totale du circuit en appliquant le théorème de Pythagore.

Connaissant Z, on peut déterminer I, VR, et VC

I = V/Z = 4/2190 = 1.83 mA

VR = R I = 1.5 KΩ x 1.83 mA = 2.75 V

VC = XC I = 1.59 KΩ x 1.83 mA = 2.91 V

Vérification :

Le déphasage entre le courant et la tension totale peut être déterminé en utilisant une relation trigonométrique à l’un ou l’autre des triangles ci-dessus (triangle des tensions ou triangle des impédances).

Exercice 1 : soit le circuit suivant :

a/ Calculer l’impédance totale du circuit.

b/ Calculer le courant I et les tensions V_R et V_C.

------------------------

Exercice 2 : on soumet un condensateur de 1 µF en série avec une résistance de 100 Ω à une tension alternative de 10 volts. La fréquence de la source est de 1000 Hz.

a/ Quelle est la réactance du condensateur ?

b/ Quelle est l’impédance totale du circuit ?

c/ Quel est le courant efficace qui circule dans le circuit ?

d/ Quel est le déphasage entre le courant et la tension ?

e/ Quelle est la d.d.p. efficace aux bornes de la résistance ?

f/ Quelle est la d.d.p. efficace aux bornes du condensateur ?

---------------------------------------------------------

XC = 159 Ω

Z= 189 Ω

I = 53 mA

θ = 58⁰

VR = 5.3 volts

VC = 8.4 volts

3.2. Rappels de mathématiques :

     3.2.1. Variation directe (ou variation directement proportionnelle)

y = 5 x        peut se traduire par :

      y varie directement comme x

      y est proportionnel à x

                        y

      Le rapport --------- = 5 = constante même si x et y varient

                       x

Exemple :

V = R I = 100 x I

     I varie directement comme V

I est proportionnel à V

Le tracé de la fonction V = R x I est une droite



3.2.2.Variation inverse (ou variation inversement proportionnelle)

               1          5

y = 5 x ------ = ------       se traduit par

               x          x

y varie comme l’inverse de x

      y est inversement proportionnel à x

      Le produit y . x = constante

Exemple :

                1                   V            10

I = --------- x V = -------- =    -----

                 R                  R            R

       I varie comme l’inverse de R

I est inversement proportionnel à R

R x I = 10 x 1 = 100 x 0.1 = 10 = constante

Le tracé de la fonction I = V / R est une hyperbole

    3.2.3. Fonction exponentielle

    On appelle fonction exponentielle de base a, la fonction définie par a^x si a est un nombre entier différent de 1.

    Exemple

    y = 2^x, y = 3^x, y = 10^x

    Soit à tracer la fonction y = 2^x

x = 0       ; y = 2⁰ = 1

x = 1        ; y = 2¹ = 2

x = 3       ; y = 2³= 8

x = -1      ; y = 2^-1 = 0.5

3.2.4. Fonction logarithmique

Logarithme est la fonction réciproque de la fonction exponentielle

Soit la fonction exponentielle y = 10^x. Connaissant x, on peut déterminer y

x = 0, y = 10⁰ = 1

x = 1, y = 10¹ = 10

x = 2, y = 10² = 100

x = 3, y = 10³ = 1000

Pour trouver la réciproque, on inverse x et y. À quelle puissance faut-il élever 10 pour trouver y. Connaissant y, on veut déterminer x.

x = inverse exponentielley, c’est à dire que x est la réciproque exponentielle de y de base 10.

Une notation particulière due aux travaux de Jean Neper (1550-1617) et Henry Briggs (1561-1630) sur les logarithmes à été acceptée. On a défini : la fonction logarithmique est la réciproque de la fonction exponentielle.

Exemple 1 : soit la fonction y = 10^x

Pour x = 4 , y = ?

y = 10^x = 10⁴ = 10 000

Exemple 2 : soit la fonction y = 10^x

Pour y = 10 000 , x = ?

x = inverse exponentielle (10 000) = logarithme 10 000 = 4

Il existe autant de systèmes différents de logarithmes qu’il y a de nombres pouvant servir de base i.e. un nombre infini. Cependant deux systèmes sont particulièrement importants et utilisés :

Les logarithmes à base 10 ; on les appelle aussi logarithmes vulgaires ou ordinaires parce qu’ils sont les plus communément employés car ils sont liés à notre système de numération décimale.

Les logarithmes naturels ou népériens (du nom de leur inventeur Neper) dont la base est e = 2.718281828 utilisé dans les formules mathématiques avancées.

Pour distinguer les logarithmes naturels des logarithmes de base 10, on écrit :

y = log₁₀ x = log x pour les logarithmes ordinaires

et y = log_ex = ln x pour les logarithmes naturels

3.2.5. Échelle logarithmique

Un axe gradué linéairement est mal adapté pour la représentation d’une grandeur dont les valeurs forment un éventail très ouvert ; c’est le cas du domaine des fréquences de fonctionnement d’un amplificateur.

Exemple : sur une feuille de 28 cm de large, on ne peut représenter que 2.8 Khz si on adopte une échelle de 1 cm = 100 Hz.

Nous utiliserons donc pour l’axe des fréquences une échelle logarithmique. Celle-ci est obtenue en séparant les valeurs par des intervalles proportionnels à leur logarithme.

      Log 1 = 0 ; Log 10 = 1 ; Log 100 = 2 ; Log 1000 = 3 etc.

Remarque : une grandeur concrète n’a pas de logarithme. On ne peut exprimer que le logarithme d’un nombre abstrait : le logarithme de 40 Khz n’existe pas ; en revanche nous pouvons écrire :

                  40 000 Hz

     Log ( -----------------) = log 40 000 = 4.6

                   1 Hz

On trouve dans le commerce des feuilles de papier à 3 ou 4 cycles (modules) qui permettent de tracer des courbes :

En coordonnées logarithmiques, si les deux axes sont ainsi gradués.

En coordonnées semi- logarithmiques, si l’un des deux axes est à l’échelle linéaire.

4. Inductance seule :

4.1. Courant induit

À mesure qu’une force extérieure tire le cadre de fil à travers le champ magnétique, un courant est induit dans le cadre.

4.2. Induction électromagnétique

Lorsqu’un conducteur est déplacé dans un champ magnétique de telle sorte qu’il coupe les lignes de force, une tension apparaît à ses bornes. Le même effet se produit si un conducteur fixe est placé dans un champ magnétique variable.

En courant alternatif, l’amplitude du signal varie et inverse son sens

Les conséquences de la variation du champ magnétique sont les mêmes que celles d’un champ magnétique en mouvement. Il crée donc une tension induite dans le fil qu’il va parcourir.

Soit une bobine parcourue par un courant alternatif. Le flux embrassé par la bobine augmente avec l’intensité du courant qui traverse cette dernière. La variation du flux embrassé par la bobine induit une tension aux bornes de celle-ci.

Il se crée donc dans cette bobine une f.é.m. induite, en raison de la variation de courant, qu’entraîne la variation de flux. Cette f.é.m. induite est de polarité telle qu’elle donne naissance à un courant qui engendre un flux s’opposant à la variation du flux originel.

En d’autres termes, l’effet induit (e_ind) tend à établir un courant qui s’oppose à l’augmentation de l’intensité du courant traversant la bobine.

Définition : Le courant induit a un sens tel que ses effets s’opposent à la cause qui lui a donné naissance.

4.3. Inductance propre :

Puisque la f.é.m. induite s’oppose à toute variation de l’intensité du courant qui traverse la bobine, on l’appelle force contre électromotrice (f.c.é.m.).

L’aptitude d’une bobine à s’opposer à toute variation de l’intensité du courant est une mesure de son inductance propre (L).

L’inductance L s’exprime en Henry (H) ; elle dépend du nombre de spires (N), de la section du noyau (A), de sa composition (m) et de la longueur du fil (l).

N² µ A

L = -------------

Le Henry est l’inductance qui permet d’induire une tension de 1 volt quand le courant varie de 1 ampère par seconde.

v_L = - L ----

4.4. Circuit à inductance seule

Considérons une inductance pure n’ayant aucune résistance connectée à une source de tension alternative de pulsation w.

Lorsque la tension aux bornes de l’inductance est maximale, le courant est nul : c’est que la force électromotrice induite, étant de sens inverse, annule complètement la tension fournie par la source. Notons que la tension est soit positive soit négative suivant que le courant est croissant ou décroissant. De même la force contre électromotrice aux bornes de l’inductance est nulle lorsque le taux de variation du courant dans le circuit est nul. Ceci se produit lorsque l’amplitude du courant est maximale. La tension précède le courant d’un angle de 90⁰. Alors si la tension est donnée par :

v = Vm sin ωt,

Le courant dans le circuit prend la forme :

i = Im sin (ωt – 90⁰)

L ----- = Vm sin ωt

Cette équation a la forme de la loi d’ohm ; v = R i

La quantité Lw qui fait fonction de résistance est appelée réactance inductive. C’est une mesure de l’opposition au courant d’une inductance dans un circuit. On la représente par le symbole XL

On voit que plus la fréquence est élevée plus la réactance est grande, tout le contraire de ce que nous avons trouvé dans le cas du condensateur.

Résumé : quand on connecte une inductance L à une source de tension alternative, on observe que :

Le courant retarde sur la tension d’un angle de 90⁰.

L’opposition au courant alternatif, mesurée par la réactance de l’inductance, augmente avec la fréquence.

L’inductance laisse passer le courant continu comme un conducteur ordinaire; dans ce cas la fréquence est nulle, ce qui fait que la réactance est aussi nulle et, par conséquent, seule la résistance R de la bobine limite le courant.

Exemple : calculer la réactance inductive d’une inductance de 1 millihenry aux fréquences de 60 Hz, 1000 Hz et 1 MHz. Quels seraient les courants si l’inductance est connectée à une source de tension alternative de 120 volts ?

---------------------

XL = 2 π F L

Pour 60 Hz, XL = 0.377 Ω I = 318 A

Pour 1000 Hz, XL = 6.28 Ω I = 19 A

Pour 1 MHz, XL = 6280 Ω I = 19 mA

Termes à connaître pour les circuits en courant alternatif :

Nom du composant	Unité	Opposition	Notation et formule	Unité	Déphasage de V par rapport à I
Condensateur (C)	Farad (F)	Réactance capacitive	XC = 1/2πFC	Ohm (Ω)	- 90⁰
Résistance (R)	Ohm (Ω)	Résistance	R	Ohm (Ω)	0⁰
Inductance (L)	Henry (H)	Réactance inductive	XL = 2πFL	Ohm(Ω)	+ 90⁰

5. Puissances active, réactive et apparente :

Une résistance consomme l’énergie provenant de la source pour la transformer en chaleur. Cette quantité d’énergie est appelée « puissance réelle » ou « active », laquelle se mesure en watts. P = R I²

Une des caractéristiques de la bobine est de ne pas consommer d’énergie. En effet, celle-ci restitue la même quantité d’énergie que celle qu’elle absorbe. C’est pourquoi on appelle « puissance réactive », la puissance associée à la bobine. La puissance réactive de la bobine symbolisée QL est déterminée par la tension qui se trouve à ses bornes multipliée par le courant qui la traverse.

Cette unité de mesure permet de distinguer la puissance réactive de la puissance réelle.

Étant donné qu’aucun courant ne peut circuler à travers les plaques d’un condensateur, celui-ci ne consomme aucune énergie. Toutefois, le condensateur doit acquérir de la source une certaine quantité d’énergie pour se charger. Cette quantité d’énergie représente une puissance réactive.

Dans un circuit réactif (RL, RC, RLC), les deux types de puissance, réactive et réelle (active), agissent simultanément. Étant donné que la puissance est déterminée par le produit de la tension et du courant et qu’il existe un déphasage entre ceux-ci dans chacun des composants, la puissance réactive et la puissance réelle forment par conséquent un angle de 90⁰.

Exemple : Circuit RL

Pour pouvoir répondre à la demande de puissance de tout le circuit, la source doit fournir une puissance capable de satisfaire la demande de la puissance réelle et de la puissance réactive. Cette puissance totale fournie par la source est appelée « puissance apparente » et est symbolisée par la lettre S. Elle se mesure en volts ampères (VA).

S² = P² + Q²

(VA) (W) (Vars)

6. Circuit RLC série :

Un circuit RLC comprend les trois éléments suivants : une inductance L, une résistance R, un condensateur C et une source de tension alternative de pulsation w.

Supposons que le courant qui circule dans un tel circuit a la forme : i = Im sin ωt

Ce courant passe dans chaque élément créant une différence de potentiel aux bornes de chacun d’eux.

Pour la résistance, la d.d.p. instantanée est en phase avec le courant : v_R = R Im sin ωt

                                                                                                                          Im

Pour le condensateur, la d.d.p. à ses bornes est 90^o en arrière du courant : v_C = ----- sin (ωt – 90^o)

                                                                                                                          ω C

Et finalement pour l’inductance, la d.d.p. à ses bornes est 90^o en arrière du courant :

v_L = ω L Im sin (ωt + 90^o)

V = Z x I

VR = R x I

VC = XC x I

VL = XL x I

À partir du triangle des tensions, on peut écrire :

V² = VR² + (VC – VL)² ou Z²I² = R² + (XC – XL)² I²

               VC – VL               XC - XL

Sin θ = ------------ = -------------

                   V                    Z

Application numérique :

XC = 1/2πFC = 159 Ω

XL = 2πFL = 62.8 Ω

Z = 139 Ω

I = V/Z = 72 mA

VR = RI = 7.2 V

VL = XLI = 4.5 V

VC = XCI = 11.4 V

θ = 43.6^o

7. Résonance série :

Vous avez appris jusqu'à maintenant qu'un circuit « RLC série » peut être inductif ou capacitif selon la différence entre la réactance inductive et la réactance capacitive. Toutefois, lorsque la valeur de la réactance inductive est égale à celle de la réactance capacitive (XL = XC), le circuit n'est ni inductif ni capacitif. Il s'agit là d'un phénomène tout particulier appelé résonance.

7.1.   Principe de la résonance

Un circuit RLC en série est dit en résonance lorsque les effets des réactances s'annulent c'est-à-dire lorsque XL = XC. Ceci se produit pour une fréquence particulière notée Fo

                                                                             1                                     1

               XL = XC      ==>      2 π Fo L = -----------     ==>   Fo² = --------------

                                                2 π Fo C                         4 π² L C

L'impédance du circuit est alors à son minimum et est simplement égale à la résistance du circuit

Le courant dans le circuit sera alors maximal (I = V / R) et le déphasage entre I et V est nul. Pour toute autre valeur de la fréquence, le courant sera plus faible.

7.2.   Tensions dans un Circuit résonant RLC

Étant donné que le courant est partout le même dans un circuit série et que les réactances sont égales (XL = XC), les tensions aux bornes des composants L et C sont égales et s'annulent. Par conséquent la tension appliquée au circuit est égale à la tension aux bornes de la résistance.

Comme le courant est maximal à la résonance, la tension aux bornes de la résistance sera aussi maximale comme le montre la figure suivante :

7.3. Surtensions :

calculons les d.d.p. VC et VL aux bornes de C et de L au moment de la résonance.

                              VR                  VR                  XL

VC = Xc x I = XC x -------- = XL x ------- = VR x (------)

                               R                        R                         R

Si on s’arrange pour que XL soit plus grand que R, ce qui est facile en prenant du fil assez gros, le rapport (XL/R) peut être égal à 10, 50, 100, 200, 400 et même plus. La formule précédente montre qu’aux bornes de C, la d.d.p. peut être beaucoup plus grande que la d.d.p. aux bornes de la source : il y a surtension. On voit que si R=0, VC = infini.

Le coefficient (XL / R) = Q s’appelle facteur de surtension, coefficient de surtension ou facteur de qualité ; il exprime la qualité du circuit. De même aux bornes de la bobine :

VL = V x Q

Puisque l'impédance d'un circuit RLC à la résonance est à son minimum, le courant du circuit est à son maximum. De ce fait, la tension aux bornes du condensateur et celle aux bornes de la bobine sont également à leur maximum et peuvent être plus grandes que la tension de la source.

7.4.   Autres valeurs de Q à la résonance



Si on remplace 2 p Fo par sa valeur, Q peut s’écrire :

Cette formule est plus pratique, car en général on ne connaît pas w mais plutôt L, C et R. À partir de cette relation, on voit que pour avoir une surtension, il faut que R soit petite, C petit et L aussi grand que possible.

Comme à la résonance XL = XC, Q peut s’écrire aussi sous cette forme :

XL XC 1 1

Q = ----- = ------- = ------- x --------

R R R 2πFoC

Exemple : supposons une inductance L et un condensateur C en série, où l’inductance L est soumise à l’action d’un champ magnétique variable extérieur d’une origine quelconque (émetteur TV) et soit E la f.é.m. induite dans cette bobine. Si l’on accorde, grâce au condensateur, le circuit LC sur la fréquence du champ magnétique extérieur, il y aura résonance et on aura :

         E

I = ------

          R

La d.d.p. aux bornes de C (ou aux bornes de L) est :

Soit L = 1000 µH, R = 10 Ω, C = 1 nF et V = 1 µV

Q = 100 d’où VC = V x Q = 1 µV x 100 = 100 µV

7.5.   Bande passante et fréquences quadrantales ou fréquences de coupure :

On appelle bande passante la largeur totale ∆F définie ci-dessus soit :

                         FO

∆F = F1 – F2 = ------

                         Q

          Les fréquences quadrantales sont les fréquences pour lesquelles le courant :

7.6.   Puissances du circuit à la résonance

Vous savez désormais qu'un circuit RLC en série est à la résonance lorsque sa réactance inductive est égale à sa réactance capacitive. Comme le courant est partout le même dans un circuit en série, la tension aux bornes du condensateur est égale à celle aux bornes de la bobine. Par conséquent, la puissance réactive de la bobine (QL) est égale à celle du condensateur (QC), et comme elles s'opposent l'une à l'autre, elles s'annulent.

P = V x I

Q = QL – QC = 0

Exercice 1 : Résonance série

a)      Calculer le courant I

b)      Calculer VR et le déphasage avec I

c)      Calculer VC et le déphasage avec I

d)      Calculer VL et le déphasage avec I

e)      Déterminer le facteur de qualité Q du circuit

f)      Si la fréquence de résonance du circuit est de 5 KHz, calculer la largeur de bande ou bande passante.

g)      Quelle est la puissance fournie au circuit aux fréquences de coupure.

       ------------------------------------------------------------------

a)      À la résonance Z = R

               V           10

I = ------ = -------- = 5 A

                    R          2

b)      VR = R I = 2 x 5 = 10 V ; θ = 0⁰

c)      VC = XC I = 10 x 5 = 50 V ; θ = - 90⁰

d)      VL = XL I = 10 x 5 = 50 V ; θ = + 90⁰

               XL          10

e)      Q = ------- = -------- = 5

                R            2

                               Fo

f)        B = F1 – F2 = -------

                                    Q

g)      P = R I²= R (0.707 Imax)² = 0.5 R I²max

P = 0.5 x 2 x (5)² = 0.5 x 2 x 25 = 25 W

Exercice 2 : La largeur de bande d’un circuit résonant série est de 400 Hz. Si la fréquence de résonance du circuit est de 4 KHz, calculer le facteur de qualité Q. Si R = 10 Ω, calculer enfin l’inductance L de la bobine et la capacité C du condensateur du circuit.

Exercice 3 : La fréquence de résonance d’un circuit RLC série est de 12000 Hz. Si R = 5 Ω et que XL à la résonance soit de 300 Ω, calculer la bande passante du circuit. Quelles sont les fréquences de coupure ?

                     Fo          Fo               Fo x R        12000 x 5

a)      B = ------- = -------- x R = ---------- = ------------- = 200 Hz

                     Q           XL                 XL              300

                            B

b)      F₁ = Fo + ----- = 12000 + 100 = 12100 Hz

                            2

                              B

c)      F₂ = Fo + ------- = 12000 – 100 = 11900 Hz

                              2

Exercice 4

a/ Tracer le diagramme de phase des tensions VR, VC, VL et du courant I.

b/ Tracer le triangle des impédances.

c/ Déterminer Z, VR, VC et VL.

d/ Si L = 5 mH, quelle est la fréquence du circuit ?

e/ Déterminer le déphasage entre I et V

I = 50 / 11.2 = 4.46 A

VR = 22.3 V    VC = 89.2 V      VL = 133.8 V

XL = 2 π F L     =>     F = 955 Hz

Tan θ = 10 / 5 = 2     =>     θ = 63.4⁰

8. Circuit RL parallèle

L’étude des circuits parallèles est extrêmement semblable à celle des circuits séries. Dans le circuit ci-dessus, R et L sont en parallèle et sont soumises à la même tension (v).

                                     vR                     vL

v = R iR = XL iL => iR = ------- et iL = ---------

                                     R                      XL

(1/Z)² = (1/R)² + (1/XL)² avec XL = 2πFL = 2π x 1 x 10³ x 1.59 x 10^-3 = 10 Ω

(1/Z)² = (1/20)² + (1/10)² = 1.25 x 10^-3 Y (1/Z) = 112 x 10^-3 => Z = 8.94 Ω

IT = 10 / 8.94 = 1.12 A

IR = 10 / 20 = 0.5 A

IL = 10 / 10 = 1 A

               1

           -------

              XL             R              20

Tan θ = -------- = --------- = --------- = 2 => θ = 63⁰

               1              XL            10

           ------

               R

v = 14.1 sin ωt

i = 1.58 sin (ωt – 63⁰)

Exercice : soit le circuit suivant :

a/ Calculer l’impédance totale du circuit

b/ Calculer la tension E et les courants IR et IL

c/ Déterminer les expressions sinusoïdales du courant et de la tension sachant que la fréquence est de 60 Hz

(1/Z)² = (1/R)² + (1/XL)² = 0.29

(1/Z) = 0.539 => Z = 1.86 Ω

E = Z x I = 1.86 x 2 = 3.72 volts

IR = V/R = 3.72/2 = 1.86 A

IL = V/XL = 3.72/5 = 0.74 A

Tan θ = R/XL = 0.4 => θ = 22⁰

e = Em sin ωt = 3.72 sin 377t

i = Im sin (ωt - 22⁰) 2.83 sin (377t - 22⁰)

9. Circuit RC parallèle

Dans ce circuit, R et C sont en parallèle et sont soumis à la même tension v.

                                     v                   v

v = R iR = XC iC => iR = ----- et iC = -----

                                     R                  XC



(1/Z)² = (1/R)² + (1/XC)² = 0.0126

(1/Z) = 0.112 => Z = 8.9 Ω

IT = V/Z = 10/8.9 = 1.12 A

IR = V/R = 10/20 = 1.12 A

IC = V/XC = 10/9.95 = 1 A

Vérification : I² = IR² + IC²

(1.12)² = (0.5)² + (1)²

1.25 = 1.25

Déphasage entre I et V :

Tan θ = R/XC = 2.01 => θ = 63.5⁰

Expressions de v et i :

v = Vm sin ωt = 14.1 sin 6283t

i = Im sin (ωt - 63.5⁰) = 1.58 sin (6283t - 63.5⁰)

Exercice : soit le circuit suivant :

a/ Calculer l’impédance totale du circuit

b/ Calculer la tension E et les courants IR et IC

c/ Déterminer les expressions sinusoïdales du courant et de la tension sachant que la fréquence est de 60 Hz

(1/Z)² = (1/R)² + (1/XC)² = 0.08

(1/Z) = 0.283 => Z =3.53 Ω

E = Z x I = 3.53 x 1.5 = 5.3 volts

IR = V/R = 5.3/5 = 1.06 A

IC = V/XC = 5.3/5 = 1.06 A

Tan θ = R/XC = 1 => θ = 45⁰

e = Em sin ωt = 7.5 sin 377t

i = Im sin (ωt + 45⁰) = 2.12 sin (377t + 45⁰)

10. Circuit RLC parallèle

11. La résonance parallèle

La résonance parallèle se produit lorsque XL = XC pour une fréquence F_O.

Comme XL = XC, alors IC = IL à la résonance

À la résonance I est en phase avec V.

Ce type de circuit est utilisé comme impédance de charge dans le circuit de sortie des amplificateurs RF.

Z_OUT ampli = Z_IN du circuit RLC,

d’où un transfert maximum de puissance

Le facteur de qualité Q dans un circuit résonant parallèle est :

IL V/XL V R R

Q = ------ = --------------= ----- x ------ = -------

I V/R XL V XL

Q est aussi appelé facteur de surintensité (si Q>1 alors IL>IT)

Exercice : soit le circuit suivant :

a/ Calculer la fréquence de résonance.

b/ Calculer XL et XC à la résonance.

c/ Tracer le diagramme de Fresnel.

d/ Calculer l’impédance totale du circuit.

e/ Calculer I, IR, IL et IC

g/ Déterminer le facteur de qualité et la bande passante.

--------------------------------------------

a/ F_O = 19.94 KHz

b/ XL = XC = 10 Ω

IR = I, Z = R

d/ Z = R = 100 Ω

e/ I = 0.1 A, IR = 0.1 A, IL = 1 A, IC = 1 A

f/ Q = 10, B = 1994 Hz

CHAPITRE 4 : LE TRANSFORMATEUR

1. Principe

2. Rapport de transformation

3. Puissance d'un transfo

4. Impédance image

5. Types de transformateur

1. Principe

Le transformateur est un dispositif qui permet de transformer (modifier) la valeur d’une tension ou d’un courant alternatif donné à un niveau plus élevé ou plus bas. Les transformateurs sont largement utilisés dans le réseau de distribution électrique et dans de nombreux circuits électriques et électroniques.

Le transformateur élémentaire est le plus simple qui soit. Sa construction nécessite deux bobines enroulées séparément autour d’un noyau magnétique en fer. L’une des bobines est appelée primaire et l’autre, secondaire

Le primaire, appelé parfois enroulement primaire, est la bobine alimentée par la source d’alimentation à courant alternatif, tandis que le secondaire ou enroulement secondaire est la bobine raccordée à la charge.

La représentation symbolique est la suivante :

Le fonctionnement d’un transformateur est basé sur le phénomène de l’induction mutuelle. Ce phénomène s’explique comme suit : lorsqu’une tension alternative est appliquée à l’enroulement primaire d’un transformateur, un courant y circule.

Cela crée un flux magnétique à l’intérieur de cet enroulement. Ce flux magnétique sera acheminé vers l’enroulement secondaire grâce au noyau magnétique en fer du transformateur.

Comme le courant qui circule dans le primaire varie continuellement en fonction de la tension alternative appliquée, le flux magnétique créé par ce courant variera également. L’enroulement secondaire se trouve alors dans un champ magnétique variable, et de cette façon, une tension est induite dans l’enroulement secondaire.

2. Rapport de transformation

Il existe trois types de transformateurs : abaisseurs, élévateurs et isolateurs. L’appellation choisie dépend du rapport de transformation de chacun des transformateurs.

Le rapport de transformation, symbolisé par la lettre (a), se défini comme le nombre de spires (tours de fil) de l’enroulement primaire divisé par le nombre de spires de l’enroulement secondaire.

a = -------

Où :

a : rapport de transformation

Np : nombre de spires du primaire

Ns : nombre de spires du secondaire

Ce rapport détermine ainsi le rapport entre la tension appliquée au primaire du transformateur et celle induite dans le secondaire.

a = -------

Où :

a : rapport de transformation

Vp : tension appliquée au primaire

Vs : tension appliquée au secondaire

Ainsi :

Vp Np

a = ------- = -------

Vs Ns

Si a > 1, le transformateur est dit abaisseur car Vs < Vp

Si a < 1, le transformateur est dit élévateur car Vs > Vp

Si a = 1, le transformateur est dit isolateur Vs = Vp

3. Puissance d’un transformateur

Dans la pratique, il est très rare, voire impossible, de connaître le nombre de tours de chacun des enroulements d'un transformateur. Cependant, on retrouve souvent sur la plaque signalétique des transformateurs l'indication de la tension nominale du primaire, celle du secondaire et la puissance admissible.

La tension nominale d'un transformateur est une valeur optimale de la tension appliquée à un enroulement du primaire du transformateur et nécessaire à son bon fonctionnement. En général, la tension appliquée à un transformateur peut être plus ou moins grande que sa tension nominale. Cependant, elle ne doit pas excéder 110 % de la tension nominale, puisque le transformateur devient alors en saturation. Par ailleurs, le courant qui circule dans l'enroulement dégage de la chaleur, qui doit être limitée pour ne pas endommager l'enroulement ainsi que la structure du transformateur. C'est pourquoi on attribue à chaque transformateur une valeur de puissance admissible. Cette attribution a pour but de limiter à la fois la tension appliquée et le courant débité pour chacun des enroulements d'un transformateur.

La puissance admissible d'un transformateur est exprimée en voltampères (VA) et déterminée par le produit de la tension nominale et du courant nominal d'un enroulement comme le montre la formule suivante :

Pp = Vp x Ip, Ps = Vs x Is

Où :

P: puissance admissible (VA)

Vp: tension nominale de l’enroulement primaire (V)

Ip: courant nominal de l’enroulement du primaire (A)

Vs : tension nominale de l’enroulement secondaire (V)

Is : Courant nominal de l’enroulement secondaire (A)

Dans les conditions normales d'opération, il faut respecter toutes les valeurs nominales d'un transformateur, c'est-à-dire ne pas dépasser la puissance admissible, la tension nominale et le courant nominal.

Exercice 1:

La plaque signalétique d'un transformateur abaisseur indique les données suivantes :

P= 200 VA, 120/30V

1. Calculer le courant nominal du primaire et du secondaire.

2. Calculer, en voltampères (VA), la puissance d'opération de ce transformateur, si une charge résistive de 100 Ω est raccordée au secondaire.

Exercice 2 : soit le transformateur suivant

Calculez le nombre de spires du secondaire (Ns)

---------------------------------

Idéalement il ne doit pas y avoir de perte de puissance dans un transformateur, cela veut dire que la puissance débitée au secondaire et fournie à la charge est égale à la puissance qui alimente le primaire du transformateur. Toutefois, dans la pratique, il y a des pertes de puissance.

Voici deux facteurs importants de perte de puissance :

Facteur 1 :

Les enroulements primaires et secondaires formés par des fils conducteurs, produisent une perte de puissance sous forme de chaleur provenant des résistances des fils.

Facteur 2 :

Certaines lignes de force du flux magnétique sortent du noyau plutôt que de circuler normalement dans ce dernier. Ces lignes se propagent dans l’air, causant un phénomène appelé fuite magnétique, d’où la perte de puissance.

Ces principales pertes et d'autres encore font en sorte que la puissance fournie à la charge par l'enroulement secondaire est toujours inférieure à celle qui alimente le primaire. Par conséquent, il sera possible de voir comme spécification le rendement du transformateur exprimé en %.

Puissance fournie à la charge

% rendement = -------------------------------------------- x 100

Puissance fournie au transformateur

Exercice 3 : Sachant qu’un transformateur est alimenté par une puissance de 120 VA et fournit seulement une puissance de 102 VA à la charge, calculez son rendement

-----------------------

Exercice 4 : Lorsqu’une tension de 600 volts est appliquée au primaire d’un transformateur, une tension de 1200 volts est induite dans le secondaire.

a) Calculez le rapport de transformation de ce transformateur

b) Déterminez le nombre de tours de l’enroulement secondaire, si le nombre de tours de l’enroulement primaire est de 800.

Exercice 5 : Déterminez le rendement d’un transformateur pour lequel les lectures suivantes ont été obtenues :

Ip = 2A Is = 8.2A Vp = 120V Vs = 24V

4. Impédance image

Un transformateur peut être utilisé pour adapter des impédances.

Np Vp Ns Ip

------- = ------ (1) ------- = -------- (2)

Ns Vs Np Is

Si on divise l’équation (1) par l’équation (2), on obtient :

Np Vp

------ -------

Ns Vs Np Np Vp Is

----------- = ---------- => ------ x ------ = ------ x -----

Ns Ip Ns Ns Ip Vs

------ ------

Np Is

=> a² = -------- => Zp = a² Zs

Exercice 6 : soit le montage suivant :

a) Calculez la grandeur du courant primaire ainsi que la tension Vp appliquée aux bornes du primaire

b) Calculez la résistance d’entrée du transformateur

Exercice 7 : La résistance de sortie d’un amplificateur est de 576 Ω. On veut qu’il fournisse le maximum de puissance à un haut parleur de 16 Ω. On utilise un transformateur pour raccorder le circuit au haut-parleur. Calculez le rapport de transformation (a) ainsi que le nombre de spires du primaire si le secondaire possède 40 spires.

5. Types de transformateurs

5.1 Transformateur à prise médiane (center tap ou CT)

Le transformateur à prise médiane est en fait un transformateur double. Dans cette figure le point B est la prise médiane, elle est commune aux deux sorties. Il y a une tension entre le point A et B et une autre entre le point B et C.

Comme le bobinage est fait dans le même sens, les tensions des deux sorties sont déphasées de 180 degrés.

Il est possible dans ce type de transformateur de ne pas utiliser la prise médiane. Dans ce cas la tension de sortie sera égale à la somme des tensions des deux sorties.

Exercice 8 : Calculer Vout 1, Vout 2 et Vout 3.

5.2 Transformateur à plusieurs secondaires

Il est possible d’obtenir plusieurs tensions au secondaire en utilisant un transformateur à secondaires multiples. Ce transformateur est constitué d’un enroulement au primaire et de plusieurs enroulements au secondaire. Chaque secondaire peut fournir une tension différente selon le nombre de spires dont il est constitué.

Le transformateur à prise médiane est le type le plus courant dans la catégorie des transformateurs à plusieurs secondaires.

5.3 Transformateur à sortie variable (Variac)

La prise médiane est ici mobile. La tension au secondaire peut varier de 0 volt à 150 volts ou plus.

CHAPITRE 5 : LES FILTRES PASSIFS

1. Introduction

2. Filtre RC

3. Filtre RL

4. Filtre passe bande

5. Filtre éliminateur de bande

6. Filtre passe haut

7. Filtre passe bas

8. Décibel

1. INTRODUCTION

Dans une « colonne de son », on retrouve généralement trois haut-parleurs. Le signal électrique qui sort de l’amplificateur pour reproduire le son contient un mélange des basses, moyennes et hautes fréquences.

Chacun des trois haut-parleurs devrait recevoir seulement le type de fréquence pour lequel il est construit.

      Le « Woofer », grande surface, grande inertie : basses fréquences.

      Le « Mid-range », surface moyenne : fréquences moyennes.

      Le « Tweeter », petite surface, faible inertie : hautes fréquences.

La vibration du haut-parleur produit une vague d’air perçue par l’oreille comme un son de tonalité plus élevée à mesure que les vagues sont plus rapprochées.

2. FILTRE « RC »

Pour éviter qu’un haut-parleur reçoive des fréquences pour lesquelles il n’est pas conçu, il faudrait séparer les différentes fréquences qui se présentent à la sortie de l’amplificateur avant de les relayer aux haut-parleurs. Pour cela, on doit employer un (ou des) composant(s) qui ont une impédance qui varie en fonction de la fréquence ; par exemple pour bloquer les basses fréquences qui se dirigent vers le « tweeter ».

Le condensateur et la bobine offrent cette caractéristique :

XL = 2 π F L XC = -----------

2 π F C

Voyons les différentes valeurs que prend la réactance d’un condensateur de 20 µF en fonction de la fréquence du signal qui lui est appliqué

F (Hz)	XC (Ω)
10	795
100	79.5
1K	7.96
10K	0.8

Exemple : Avec une tension de 10 volts à la source et une résistance de 8 Ω en série avec le condensateur, les tensions qui sont mesurées dans le circuit sont les suivantes :

F (Hz)	VC (V)	VR (V)
10	10	0.1
100	9.95	1
1K	8.92	7.09
10K	0.8	9.95

Les valeurs des tensions mesurées montrent deux choses différentes :

Si on branche un haut-parleur en parallèle avec la résistance, on voit que la tension à ses bornes augmente avec la fréquence, ce qui permet de couper les fréquences basses et de garder les fréquences hautes : c’est ce qu’on appelle un filtre passe-haut.

Si on se branche en parallèle avec le condensateur, la tension diminue avec l’augmentation de la fréquence : c’est un filtre qui garde les basses fréquences, donc un filtre passe-bas.

La fréquence de coupure correspond à la fréquence qui offre une puissance égale à la moitié de la puissance totale à l’entrée. Cette puissance de 50 % correspond à 70.7 % de la tension d’entrée. Ce cas se présente lorsque :

XC = R

1 1

Fréquence de coupure = ------------ = -------------------- = 995 Hz

2 π R C 2 π x 8 x 20 µF

3. FILTRE « RL »

On peut obtenir un comportement semblable avec un filtre « RL ». XL augmente avec la fréquence.

4. FILTRE PASSE-BANDE

Dans plusieurs circuits électroniques_,il est parfois nécessaire de ne laisser passer que certains signaux à des fréquences bien précises et d’en éliminer les autres. Une des applications du circuit « RLC série » à la résonance est un filtre passe-bande. La résonance s’obtient lorsque XL = XC (voir notes de cours « circuits à courant alternatif »)

Lors de la résonance d'un circuit « RLC série », le courant du circuit ainsi que la chute de tension aux bornes de chacun des composants, VR, VL et Vc, sont à leur maximum. Ils diminueront au fur et à mesure que la fréquence du circuit s'éloignera de cette valeur.

La figure suivante montre la représentation de la tension aux bornes de la résistance en fonction de la fréquence.

Filtre Passe-bande

Ce circuit peut être utilisé comme un filtre passe-bande, dans lequel la bande passante est limitée par les fréquences où la tension tombe à 70,7 % de sa valeur maximale.

5. FILTRE ÉLIMINATEUR DE BANDE

Une des applications du circuit résonant parallèle (la résonance est obtenue lorsque XL = XC) est le filtre éliminateur de bande montré à la figure suivante :

Filtre éliminateur de bande

La fonction de ce type de filtre est d'éliminer les signaux à la fréquence de résonance. En effet, à cette fréquence, l'impédance équivalente du circuit composé de L et C est à son maximum, de sorte que le maximum de tension se retrouve aux bornes de l’ensemble « L et C ». La tension aux bornes de R est alors minimale.

Lorsque la fréquence du circuit s'éloigne de sa valeur de résonance, l'impédance équivalente du circuit composé de L et C diminue, ce qui a pour effet d’augmenter la tension aux bornes de la résistance.

La largeur de bande (LB) de ce filtre éliminateur de bande est limitée par les fréquences où la tension tombe à 70,7 % de sa valeur maximale.

6. FILTRE PASSE-HAUT

Un filtre passe-haut est un circuit qui va favoriser le passage des hautes fréquences plutôt que les basses fréquences (voir filtres « RC » et « RL » précédents).

7. FILTRE PASSE-BAS

Un filtre passe-bas est un circuit qui favorise le passage des basses fréquences plutôt que celui des hautes fréquences (voir filtres « RC » et « RL » précédents).

Exercice :

Considérer le circuit RL suivant :

a) Calculer pour chacune des fréquences du tableau ci-dessus, les valeurs de XL, ZT, IT, VL et VR.

F (Hz)	XL (Ω)	ZT	IT	VL	VR
100
1K
6K
10K

b) Calculer la fréquence de coupure de ce circuit :

c) Compléter les deux graphiques en utilisant les valeurs du tableau précédent.

Filtre : _______________________ Filtre : _____________________

8. LE DECIBEL

8.1. Amplification : l’amplification est définie comme étant le rapport d’une grandeur de sortie sur une grandeur d’entrée.

Amplification en puissance A_P = P_OUT/P_IN

Amplification en tension A_V = V_OUT/V_IN

Amplification en courant A_I = I_OUT/I_IN

Il est plus commode de prendre une échelle logarithmique, ce qui rétrécit l’étendue de la variation : ainsi, si un rapport varie de 1 à 1000 000, son logarithme décimal varie de 0 à 6.

8.2. Le Bel (symbole B) est par définition le logarithme décimal de l’amplification en puissance.

Ap (Bels) = Log Ap 1 Bel = Log 10 Soit Ap = 10 Ap(B) = 1

Exemples :

Ap = 10 000 Ap(B) = Log 10 000 = 4 B

Ap = 20 000 Ap(B) = Log 20 000 = 4.3 B

Afin de réduire l'emploi des nombres décimaux, le gain en puissance est exprimé le plus souvent en décibels (dB).

1 Bel = 10 décibels, donc Ap (dB) = 10 Lg Ap

Exemples :

Ap = 10 000 Ap(dB) = 10 Log 10 000 = 40 dB

Ap = 20 000 Ap(dB) = 10 Log 20 000 = 43 dB

8.3. Gain en tension exprimé en décibels :

P = V² / R P_OUT = V² _OUT / R, P_IN = V²_IN / R

Ap = P_OUT / P_IN = V²_OUT / V²_IN = (V_OUT / V_IN)²

Ap (dB) = 10 Log (V_OUT / V_IN)². Comme Log X² = 2 Log X alors :

Ap(dB) = 10 x 2 Log (V_OUT / V_IN) = 20 Log (V_OUT / V_IN)

Comme Av = V_OUT / V_IN, alors Av(dB) = 20 Log (V_OUT / V_IN)

8.4 Gain en courant exprimé en décibels :

De la même façon que précédemment P = RI² P_OUT = RI²_OUT, P_IN = RI²_IN

Comme A_I = I_OUT / I_IN, alors A_I(dB) = 20 Log (I_OUT / I_IN)

8.5. Décibels négatifs :

Si la grandeur de sortie est plus petite que la grandeur d’entrée, il y a atténuation ou affaiblissement et le gain en décibels est alors négatif.

Exemple :

P_IN = 3W, P_OUT = 1.5 W

P_OUT / P_IN = 1.5 / 3 = 0.5 => Ap(dB) = 10 Log 0.5 = -3 dB

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Retour au chapitre 4 : le transformateur

Retour au chapitre 3 : les circuits à courant alternatif

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